Cosinus d'un angle

I) Les points clés

1) Cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle

ABC étant un triangle rectangle en A, on appelle cosinus d'un angle aigu du triangle ABC le rapport : $\dfrac{côté~adjacent}{hypoténuse}$

Exemple : Dans le triangle ABC, $cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$ et $cos(\widehat{ACB}) : \dfrac{AC}{BC}$

Si on connaît la mesure en degrés d'un angle, on peut calculer son cosinus à l'aide d'une calculatrice, grâce à la touche cos.

Mot-clé

Angle aigu : Un angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre 0° et 90°. 

2) Propriétés du cosinus d'un angle aigu

Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1.

Si la mesure d'un angle aigu augmente, alors la valeur de son cosinus diminue.

Exemples : cos(0°) = 1 ; cos (30°) $\approx$ 0,87 ; cos(60°) = 0,5 ; cos (90°) = 0

On a : 0° < 30° < 60° < 90°, mais cos (0°) > cos (30°) > cos (60°) > cos (90°).

II) Un peu de méthode

1) Calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm et BC = 10 cm

Pour trouver une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{ABC}$ :

1. Je calcule le cosinus de l'angle $\widehat{ABC}$ à l'aide de la formule : $cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{8}{10}$

2. Je calcule l'angle $\widehat{ABC}$ à l'aide de la calculatrice (configurer en mode degrés) : Shift ou INV ou 2nd $\rightarrow cos^{-1}(\dfrac{8}{10}) \rightarrow$ Exe ou =

Ou encore Shit ou Inv ou 2nd $\rightarrow$ Trig $\rightarrow cos^{-1}(\dfrac{8}{10})$

Donc $\widehat{ABC} \approx 36,9°$ au dixième près.

2) Calculer une longueur inconnue d'un triangle rectangle

a) Calcul de la longueur AB d'un côté de l'angle droit

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 12 cm et $\widehat{ABC} = 40°$

$cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$, donc $cos(40°) = \dfrac{AB}{12}$

D’où $AB = 12 \times cos(40°) \approx 9,2~cm$

b) Calcul de la longueur BC de l'hypoténuse

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 9 cm et $\widehat{ABC} = 50°$

$cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$, donc $cos(50°) = \dfrac{9}{BC}$

D’où $BC \times cos(50°) = 9$ et $BC = \dfrac{9}{cos(50°)} \approx 14,0~cm$