Coordonnées d'un vecteur dans l'espace

I. Repère de l'espace

Un repère dans l’espace est constitué :

$\circ\quad$ D’un point d’origine $O$.

$\circ\quad$D’une base de l’espace, composée de trois vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, et $\overrightarrow{k}$.

II. Coordonnées d'un vecteur

trix}$</p><p><strong>Propriété :</strong><br>Soit$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$un repère.<br>Pour tout point$M$, il existe un unique triplet de réels$(x, y, z)$tels que :<br>$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}$.</p><p>On dit que$(x, y, z)$sont les <strong>coordonnées </strong>du point$M$dans le repère$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$. On note$M(x, y, z)$.</p><p>$\circ\quad$$x$est appelé l’abscisse de$M$,</p><p>$\circ\quad$$y$l’ordonnée de$M$,</p><p>$\circ\quad$$z$la côte de$M$.</p><h2><strong>III. Exemple </strong></h2><p><br>$ABCDEFGH$est un cube. Lire sur la figure les coordonnées des points$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$,$G$,$H$dans le repère$(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$:</p><p><img src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/83d6444e-eea1-4813-8b5c-50d6079ee4ac" alt="picture-in-text"></p><p>$\circ\quadA(0, 0, 0)$ : Origine du repère.

$\circ\quadB(1, 0, 0)$: Point obtenu en avançant d’une unité selon$\overrightarrow{AB}$.</p><p>$\circ\quadD(0, 1, 0)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AD}$.

$\circ\quadE(0, 0, 1)$: Point obtenu en avançant d’une unité selon$\overrightarrow{AE}$.</p><p>$\circ\quadC(1, 1, 0)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

$\circ\quadF(1, 0, 1)$: Point obtenu en avançant d’une unité selon$\overrightarrow{AB}$et$\overrightarrow{AE}$.</p><p>$\circ\quadG(0, 1, 1)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

$\circ\quadH(1, 1, 1)$: Point obtenu en avançant d’une unité selon$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AD}$et$\overrightarrow{AE}$.</p><p>Toutes les formules vues dans un repère du plan s’étendent à un repère de l’espace en effectuant les mêmes calculs sur les côtes.</p><h2><strong>IV. Propriétés </strong></h2><p>Dans le repère$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, soient les points$A(x_A, y_A, z_A)$et$B(x_B, y_B, z_B)$:<br>$\circ\quad$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A \\y_B - y_A \\z_B - z_A\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
$I \left( \dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}, \dfrac{z_A + z_B}{2} \right)$

Dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives :
$\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}, \quad\overrightarrow{v} =\begin{pmatrix}x' \\y' \\z'\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} =\begin{pmatrix}x+x' \\y+y' \\z+z'\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ Pour tout réel $k$, $k\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}kx \\ky \\kz\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \iff x = x' , y = y' , z = z'$

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire : $\exists k \in \mathbb{R}, \quad\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u} \iff x' = kx, y' = ky, z' = kz$