Parmi les fonctions puissance, exponentielle et logarithme népérien, c’est la fonction logarithme népérien qui modélise les croissances les plus lentes.

I) Théorème des croissances comparées

Soit n un entier naturel non nul. On a :

$\lim_{x \to 0^{+}} x^{n} \ln x = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{n}} = 0$

Conséquence : Compte tenu des croissances comparées des fonctions puissance et exponentielle, on a également :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{e^{x}} = 0$

À noter
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}$ est la limite du taux d’accroissement en 0 de la fonction u définie sur $(- 1; + \infty)$ par $u (x) = \ln (1 + x)$ , dont la dérivée est $u^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} .$
Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = u^{'} (0) = 1$ (il faut connaître cette limite !).

II) Courbes représentatives

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Méthode

Lever une forme indéterminée

a. Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f : x \mapsto e^{x} - x + \ln x$ .

b. Calculer les limites de la fonction $g : x \mapsto x \ln (1 + \frac{1}{x})$ aux bornes de l’intervalle $(0; + \infty)$ .

Conseils
a. Pour f, factorisez par le terme qui « l’emporte » pour faire apparaître des croissances comparées.
b. Pour g, utilisez une propriété de la fonction ln pour vous ramener à une croissance comparée.

Solution

a. Pour tout réel x strictement positif, $f (x) = e^{x} (1 - \frac{x}{e^{x}} + \frac{\ln x}{e^{x}}) .$

Par croissances comparées, on a $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = 0$ .

ex+lnxex)=1.

De plus, $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ .

Donc, par produit, on obtient $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

b. Pour tout réel x strictement positif, $g (x) = x \ln (\frac{x + 1}{x}) = x \ln (x + 1) - x \ln x .$ Par croissances comparées, $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ , donc par somme, $\lim_{x \to 0^{+}} g (x) = 0$ .

En effectuant le changement de variable $X = \frac{1}{x}$ , on a $\lim_{x \to + \infty} x \ln (1 + \frac{1}{x}) = \lim_{X \to 0} \frac{\ln (1 + X)}{X} = 1$ , donc $\lim_{x \to + \infty} g (x) = 1$ .

À noter
On reconnaît $\lim_{X \to 0} \frac{\ln (1 + X)}{X}$ qui n’est pas une croissance comparée, mais la limite d’un taux d’accroissement.

Comparaison des fonctions puissance, ln et exp

I) Théorème des croissances comparées

II) Courbes représentatives

Méthode

Lever une forme indéterminée

Solution