Calculs de primitives

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La recherche d’une primitive d’une fonction est l’opération inverse de la dérivation.

I) Primitives usuelles

On déduit du tableau des dérivées, le tableau des primitives usuelles.

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II) Opérations et composition

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

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Méthode

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. fx=2x3+3x, pour tout x0;+;

b. gx=x1+x23, pour tout x.

Conseils

Étape 1 Justifiez l’existence des primitives.

Étape 2 Déterminez s’il s’agit d’une primitive de référence ou reconnaissez une opération ou une fonction composée (dans ce cas, définir u et exprimer u. Concluez.

Solution

a. Étape 1 La fonction f est continue sur 0;+ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 xx44 est une primitive de xx3 et xlnx est une primitive de x1x sur 0;+, donc les primitives de f sur 0;+ sont de la forme Fx=2×x44+3lnx+C=x42+3lnx+C, où C est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle admet donc des primitives sur .

Étape 2 Posons ux=1+x2. La fonction u est dérivable sur et ux=2x.

Pour tout x,gx=12×2x1+x23=12uxux3.

Gx=121+x23+13+1+C=121+x222+C=141+x22+CC est une constante réelle.