I. Rappels de cours
Formules donnant les principaux périmètres
Figure usuelle |
Dimensions |
Périmètre |
Carré |
côté a |
4a |
Rectangle |
longueur L et largeur l |
2(L+l) |
Cercle |
rayon r diamètre d |
2×π×r ou encore π×d |
Polygone quelconque |
Somme des mesures de tous les côtés |
II. Méthodes
1) Calculer le périmètre d’une pelouse
Monsieur Dujardin aime beaucoup les formes géométriques. Devant sa maison il a créé une pelouse dont voici un plan sommaire.
Le quadrilatère ABCD est un rectangle de longueur AB = 24 m et de largeur AD = 15 m.
C 1, C 2 et C 3 sont trois demi-cercles de diamètres respectifs [AD], [BC] et [AB].
Monsieur Dujardin souhaite enclore sa pelouse. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ? (Donner la valeur exacte puis un arrondi au mètre près.)
Conseils
Calcule les périmètres de chacun des trois demi-cercles… et n’oublie pas [CD] !
Solution
Notons p1, p2, p3 les périmètres respectifs des demi-cercles C 1, C 2 et C 3. Le périmètre p de la pelouse est tel que :
p=p1+p2+p3+CD.
Le périmètre d’un cercle de rayon r mesure 2×π×r, donc le périmètre d’un demi-cercle de rayon r mesure π×r.
Nous avons p=π×AD2+π×BC2+π×AB2+CD ou encore
p=π×152+π×152+π×242+24,
soit p=27×π+24 mètres ou, arrondi au mètre près, p=109 m.
Conclusion : Monsieur Dujardin devra acheter 109 m de clôture.
2) Calculer le périmètre d’un octogone régulier
Soit F un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon 10 cm. Calculer la mesure exacte du périmètre de cet octogone. En donner ensuite une valeur approchée au mm près.
Conseils
Calcule la mesure de l’angle AOB^ puis celle de l’angle AOI^ et enfin, à l’aide de la trigonométrie, la mesure de la distance AI. Déduis-en la mesure d’un côté de l’octogone, puis la mesure du périmètre de la figure F.
Solution
Puisque l’octogone F est régulier, ses 8 côtés ont la même mesure.
On a : AOB^=360°8=45° et OA=10 cm. Le triangle AOB est isocèle en O, donc (OI) est bissectrice de l’angle AOB^ et médiatrice du segment [AB].
En conséquence, AOI^=AOB^2=22,5° et AI=AB2.
Dans le triangle AOI, nous avons sinAOI^=AIOA,
soit sin22,5°=AI10 et AB=20×sin22,5°.
Notons p le périmètre de l’octogone régulier ABCDEFGH.
Alors p=8×AB et p=160×sin22,5° est la valeur exacte de son périmètre.
p=61,2 cm en est une valeur arrondie au millimètre.