Calcul différentiel et intégral

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Nombre dérivé ; fonction dérivée

A) Définitions (rappels)

Définition et notation du nombre dérivé

Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d’abscisse a.

• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.

• Le nombre dérivé de f en a est noté f(a).

Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.

• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f′.

B) Dérivées des fonctions usuelles (rappels)

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

ℕ* désigne l’ensemble des nombres entiers strictement positifs.

44fef345-c356-43c5-a89e-fedcab0cd5de

C) Opérations sur les fonctions dérivables (rappels)

Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

b0d3b6b2-4d95-4e51-a758-a8f55f525bcd

Exemples

1. Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : f(x)=x+1x ;

pour tout x de [1, 10], f'(x)=11x2.

On utilise 5db7d658-2803-4c26-9d4d-4908320ee058, 908ce179-6ad6-46b7-9072-15440c98f26d et 85ffc041-38c5-46b3-a99d-5935b422fe0f.

2. Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : g(x)=34(x+1x) ;

pour tout x de ]0, + ∞[, g(x)=34(11x2).

On utilise ba98865c-5646-4120-b852-1b642310d1bb et le 1°.

3. Soit h la fonction définie sur ℝ par : h(x) = (3x + 1) (– x + 2) ;

pour tout x de ℝ, h′(x) = 3(– x + 2) + (3x + 1) (– 1) ; h′(x) = – 6x + 5.

On utilise 9b7b32bd-5f9e-43d2-94b7-b8497778558f et a11b0d93-3be2-4954-a480-8af143cbb85a.

4. Soit i la fonction définie sur ℝ par : i(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 7 ;

pour tout x de ℝ, i′(x) = 4(3x2) – 7 (2x) + 2 ; i′(x) = 12x2 – 14x + 2.

On utilise 5691d072-ef53-4202-9d13-b45efd640a07, d48b6a2d-6942-4f8d-b178-7bc897c9ba8b et 3cc09eb7-a618-46ed-97e2-5ca917e0d8a3.

5. Soit j la fonction définie sur [0, 10] par : j(x)=2x+13x+4.

Pour tout x de [0, 10], j(x)=(2)(3x+4)(2x+1)(3)(3x+4)2 ; j(x)=5(3x+4)2.

On utilise 3d9feb1d-45dc-4c9a-b76a-7e4909487890 et 75caa16e-148e-4454-b765-58893db9e273.

6. Soit k la fonction définie sur ℝ par :

k(t)=sin3t+π4+cos2t+π6.

Pour tout t de ℝ, k(t)=3cos3t+π42sin2t+π6.

On utilise e7127411-c64e-4d8a-bc72-9128ad02a5f0, ccc72772-1d22-4f13-96b5-3f50f021106b et 5f1886c4-d625-4c80-bfbf-0c8b1192795a.

7. Soit l la fonction définie sur ℝ par : lx=2x1ex.

Pour tout x de ℝ, lx=2ex+2x1 ex=2+2x1 ex, lx=2x+1 ex.

On utilise cd774e62-2181-4cec-af5f-bd1d58bc0dbb, f8146962-0ed8-4141-a265-75356d5230f5, et 576e872d-9435-4f13-8bf1-85bb9c437f05.

D) Dérivées des fonctions composées usuelles

Dans ce qui suit, u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

ff7c0929-c08d-4854-8b73-4f0003a17b49

Exemples

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : fx=7x+12 ; pour tout x de ℝ, fx=277x+121=147x+1.

On a utilisé be7a718b-23d7-4c92-b49e-a4bad99db7b4 et 9a3a6c39-1f29-4ab1-b9ce-22ce2749b830.

2. Soit g la fonction définie sur 12, + par gx=32x12. La fonction g est de la forme : g=3u2u est définie sur 12, + par : ux=2x1.

Donc gx=3×2×u3, d’après le résultat 2090acbe-9cfd-4692-a479-319dcae95581. ux=2 donc gx=62x13=62x13.

3. Soit h la fonction définie sur par ht=2t+3 e2t+12. La fonction h est le produit des deux fonctions v et w définies sur par vt=2t+3 et wt=e2t+12. Donc ht=vt×wt+vt×wt, d’après le résultat 4548e1ff-03f3-4357-9109-6a378fa55bc3. vt=2 et, comme wt=eut avec ut=2t+12, donc ut=2, on a : wt=ut×eut=2e2t+12, d’après le résultat 5cc0256e-0293-42aa-ab36-beb070626480.

Donc ht=2×e2t+12+2t+3×2e2t+12.

ht=2×e2t+124t e2t+126e2t+12=44t e2t+12.

4. Soit k la fonction définie sur 13, + par kt=ln3t+1. On a kt=lnut avec ut=3t+1. On a ut=3. D’après le résultat c8b893a3-9a24-4dd4-8134-efb7ffae5164, on a kt=utut=33t+1.

E) Sens de variation d’une fonction

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

Primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle

A) Ensemble des primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F′ = f.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f.

Toutes les primitives de f sont les fonctions définies sur I par x F(x) + C, où C est une constante réelle.

Exemple

Soit f une fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x2 – 2.

Une primitive de f est définie sur ℝ par g(x) = x3 – 2x.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

F(x) = x3 – 2xCC est une constante réelle quelconque.

Vérifier que, pour tout x de ℝ, gx=fx

B) Primitives des fonctions usuelles

F donne la forme générale des primitives sur un intervalle I de la fonction f. C est une constante réelle quelconque.

c7bf0d1c-14c5-4619-a0a6-8cc2368b19d4

C) Primitives d’une somme de fonctions, d’un produit d’une fonction par un nombre réel

Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors FG est une primitive de fg sur I. a199b2fe-0e35-4883-af18-1dd0c7ec8f01

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, et si a est un nombre réel, alors aF est une primitive de af sur I. fbde78f0-6420-4738-b6db-5b05404a43fd

Exemples

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –3t + 2.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

F(t)=3(12t2)+2t+C, F(t)=32t2+2t+C, où C est une constante réelle quelconque.

• La variable est t.

• On utilise e154ec04-0894-47f9-9286-d4286d045b23, 1e645c67-3858-4fa1-a083-4151e46a69f1, 5db5dec7-7fb5-4f3b-a4e3-d56eb5a642e0 et a77703ae-3845-44dc-8c47-728d1d312811.

2. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –2x2 + 4x + 5.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

F(x)=2(13x3)+4(12x2)+5x+C, F(x)=23x3+2x2+5x+C,

C est une constante réelle quelconque.

On utilise cc77404c-68b0-4ed9-98e0-f11739cd7e8e, cb31de83-5c0c-4f8f-b3fa-f6b593eb943e et c9ef7eda-0911-4442-89c0-4aff1ec75536.

3. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 2 sin 3x – cos 4x.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par : f(x)=213cos3x14sin4x+C, où C est une constante réelle quelconque ; f(x)=23cos3x14sin4x+C.

On utilise 9f06377f-59c4-4137-896b-e52848cfd29f, de1c3fc6-190e-4cff-9af7-5ed579376eb8 et 0dcba493-6826-4a69-a53b-075815fba2f4.

Remarque

Lorsqu’on dispose d’une calculatrice équipée d’un logiciel de calcul formel, on peut vérifier les calculs de primitives et de dérivées. 

D) Primitives de fonctions composées

Dans les formules suivantes, u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et C une constante réelle quelconque.

a14acb75-a7d1-4a0f-9625-902aa0dbaa43

Exemples

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 4 (4x + 1)2.

f(x) est de la forme u′(x)[u(x)]n, avec u(x) = 4x + 1, donc u′(x) = 4 et n = 2.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

F(x)=12+1(4x+1)2+1+C ; G(x)=13(4x+1)3+C,

C est une constante réelle quelconque.

2. Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x)=x(x2+1)2.

On utilise 8527c421-249d-4760-a720-0c99fc6586cd.

g(x) ressemble à u(x)[u(x)]2. On pose alors u(x) = x2 + 1, donc u′(x) = 2x.

On peut transformer l’écriture de g(x) : g(x)=122x(x2+1)2.

Toutes les primitives de g sont donc définies sur ℝ par : G(x)=121x2+1+C, où C est une constante réelle quelconque ;

G(x)=12(x2+1)+C, où C est une constante réelle quelconque.

3. Soit h la fonction définie sur ]– 3, + ∞[ par f(x)=1x+3.

Dans le crochet de la page précédente on fait apparaître « exactement » u(x)[u(x)]2. On utilise aca5a1af-878d-4bcf-8183-d80c2fd40dfb.

En posant u(x) = x + 3, nous avons u′(x) = 1, et h(x)=u(x)u(x). Pour tout x de ]– 3, + ∞[, u(x) > 0.

Les primitives de f sur ]– 3, + ∞[ sont donc définies par H(x) = ln (x + 3) + CC est une constante réelle. (On utilise 3a2cba9e-fc34-4c8b-b152-3cf46299a623).

4. Déterminons les primitives de la fonction i définie sur ℝ par i(x) = e3x.

i « ressemble à » u′eu avec u(x) = 3x et u′(x) = 3.

Nous sommes donc conduits à écrire : i(x)=13(3e3x).

Les primitives de f sont donc définies sur ℝ par I(x)=13e3x+CC est une constante réelle quelconque.

Intégrale d’une fonction

A) Définition de l’intégrale

Soit f une fonction de signe quelconque définie sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a et b deux éléments de I.

On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel F(b) – F(a).

 On note : abf(x)dx=F(b)–F(a).

 On lit : « somme de a et b de fx dx.

On écrit aussi : abf(x)dx=[F(x)]ab.

Exemples

• 12(2x+1)dx=[x2+x]12=62=4.

• 02(3x2+2x)dx=[x3+x2]02=8+4=12.

• 1e1tdt=[lnt]1e=lneln1=1.

• 211t2dt=[1t]21=1+12=12.

• 0ln2e3xdx=[13e3x]0ln2=13e3ln213=13eln2313=13eln813=8313=73.

• 0π4sintdt=[cost]0π4=22+1.

B) Propriétés de l’intégrale

I désigne un intervalle de ℝ, f et g des fonctions définies et positives sur I et a, b et c des éléments de I.

Linéarité

Pour tous nombres réels α et β :

ab[αf(x)+βg(x)]dx=αabf(x)dx+βabg(x)dx.

Positivité

Si ab et f(x) ⩾ 0 sur [a, b], alors abf(x)dx0.

Croissance

Si fxgx pour tout x de a,b, alors abfx dxabgx dx.

Relation de Chasles

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx.

C) Valeur moyenne d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; soient a et b deux éléments de I tels que a < b.

On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel :

Vm=1baabf(x)dx.

Exemple

Soit f la fonction définie sur [0,π2] par f(x) = sin 2x.

La valeur moyenne de f sur [0,π2] est : Vm=1π200π2sin2xdx.

Une primitive de x ↦ sin 2x est x12cos2x.

Voir le résultat 1a5dd2b2-6076-491f-bf17-ea93faba25ca du paragraphe ➁B.

D’où Vm=2π[12cos2x]0π2 ; Vm=2π[12cosπ(12cos0)] ;

cos π = – 1 et cos 0 = 1 ; d’où Vm=2π(12+12)=2π.

Intégrale fonction de sa borne supérieure

La fonction xaxft dt est l’unique primitive de f sur a,b prenant la valeur 0 pour x = a.

Calculs d’aire

A) f positive sur [a, b]

Soit f une fonction positive sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan, ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

36fe705e-5160-44bf-b8b0-e5cd4659fd6a

a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x), est : 𝒜 = abfxdx.

Exemple 

On considère la courbe représentative H de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par : f(x)=1x.

L’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe H, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3 est A=131xdx (puisque 1x>0 sur [1, 3]).

A=[lnx]13=ln3ln1=ln30=ln3 ≈ 1,1 unité d’aire.

de3e7b94-c6c0-4313-996e-d5b1a1bfa1db

Vérifier toujours sur la figure l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul d’aire en « comptant les carreaux ».

B) f est négative sur [a, b]

Soit f une fonction négative sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0,

est : 𝒜 = abfxdx  (attention au signe moins).

ca7e61bf-6148-4a69-8019-7b8dcd64612c

C) Aire limitée par deux courbes représentatives

Soient f et g deux fonctions telles que pour tout x de [a, b], g(x) ≤ f(x). L’aire A, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par les courbes représentatives de f et g et les deux droites d’équations respectives x = a et x = b est :

𝒜 = abfxgxdx

Exemple

59cb1482-0f7b-47c1-b46c-969ba21c15f2

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i, j) unité : 1 cm sur chaque axe. Sur la figure, C est la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par f(x)=x+1x. La droite ∆ d’équation y = x est une asymptote de C.

Calculons l’aire en cm2 de la partie limitée par C, ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

Les deux fonctions g : xx et f : xx+1x sont telles que pour tout x de [1, 2] g(x) ⩽ f(x). D’où l’aire cherchée est :

A=12[f(x)g(x)]dx=121xdx=[lnx]12 ; A=(ln2)cm20,7cm2.

130b5f5c-166a-471f-8bf0-010e5fdf4ea1

D) Exemples d’unités d’aire

L’aire 𝒜 considérée dans les résultats des paragraphes A, B, C ci-dessus est exprimée en unités d’aire.

Dans un repère orthonormé (O ; i, j) l’unité d’aire est l’aire du carré défini par les vecteurs unitaires OI et OJ du repère.

7e0b353a-e01e-4d10-a763-84b14df88dc0

Si sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées l’unité choisie est 1 cm, alors l’unité d’aire est 1 cm2 ; si l’unité choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l’unité d’aire est 4 cm2.

Dans un repère orthogonal (O ; i, j) l’unité d’aire est l’aire du rectangle défini par les vecteurs unitaires OI et OJ du repère.

Si l’unité choisie sur l’axe des abscisses est 2 cm et si l’unité sur l’axe des ordonnées est 1 cm, alors l’unité d’aire est 2 cm2.

9dd9e91a-0c90-4142-baca-95b267e71729