Appliquer des identités remarquables

Avertissement : cette fiche et son quiz associé font désormais partie du programme de seconde.

I. Rappels de cours

Identités remarquables

Quels que soient les nombres réels a et b, nous avons :

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$  (1)

• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ (2)

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$  (3)

Remarque

N’oublie pas que les identités remarquables se lisent dans les deux sens. Par exemple, (3) peut se lire : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

II. Méthodes

1) Reconnaître les identités remarquables

Compléter les égalités suivantes :

a. $(2x+...)^2=...+...+49$

b.  $(...-3)^2=...-24y+...$

c. $(...-...)^2=64z^2-80z+...$

d. $9y^2-84+...=(...-...)^2$

Conseils

Écris côte à côte l’égalité donnée et l’identité remarquable qui lui ressemble le plus.

Solution

a. $(2x+...)^2=...+...+49$ ressemble à

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

Nous remarquons alors que $a=2x$ et $b=+7$.

Conclusion : $(2x+7)^2=4x^2+28x+49$.

b. $(...-3)^2=...-24y+...$ ressemble à

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Nous remarquons alors que $b=3$ et $2ab=24y$.

En remplaçant $b$ par $3$, nous avons $6a=24y$, soit $a=4y$.

Conclusion : $(4y-;3)^2=16y^2-24y+9$.

c. $(...-...)^2=64z^2-80z+...$ ressemble à

$(a-b^2=a^2-2ab+b^2$

avec $a^2=64z^2$ et $2ab=80z$, soit $ab=40z$.

Alors nous pouvons prendre $a=8z$ et $b=5$.

Conclusion : $(8z-5)^2=64z^2-80z+2$.

d. $9y^2-84y+...=(...-...)^2$ ressemble à $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

avec $9y^2=a^2$ et $84y=2ab$ ou $42y=ab$.

Alors nous pouvons prendre$a=3$ et $b=14$.

Conclusion : $9y^2-84y+196=(3y-14)^2$.

2) Utiliser les identités remarquables pour calculer mentalement

Calculer $A$, $B$ et $C$ sans utiliser de calculatrice.

$A=101\times99$   $B=292$   $C=512$

Conseils

• Pour $A$, remarque que $101=100+1$ et $99=100-1$.

• Pour $B$, remarque que $29=30-1.$

• Pour $C$, remarque que $51=50+1$.

Utilise alors l’identité remarquable appropriée.

Solution

• Nous avons $A=(100+1) \times (100-1)$.

Nous savons que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Alors $A=1~00^2-1^2$ ou encore $A=10~000-1=9~999$.

• $B=(30-1^2)$ et nous savons que $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Alors $B=302-2 \times 30 \times 1+12$ ou encore $B=900-60+1$, soit $B=841$.

• $C=(50+1)^2$ et nous savons que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

À noter

Vous pouvez vérifier tous ces résultats avec votre calculatrice.

Alors $C=502+2 \times 50 \times 1+12$

ou encore $C=2~500+100+1$,

soit $C=2~601$.