4e proportionnelle

I. Quatrième proportionnelle

Dans une situation de proportionnalité, en connaissant deux valeurs d'une grandeur A et une valeur d'une grandeur B, on peut calculer la deuxième valeur de B à l'aide du produit en croix.

Soit le tableau de proportionnalité suivant :

Le produit en croix donne l'égalité : $a_1 b_2 = a_2 b_1$

En effet $\dfrac{a_1}{b_1}$ et $\dfrac{a_2}{b_2}$ sont deux quotients égaux entre eux, égaux au coefficient de proportionnalité. En multipliant par $b_1$ et $b_2$ l'égalité $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}$ on obtient l'égalité du produit en croix $a_1 b_2 = a_2 b_1$.

Exemple : Le tableau suivant donne la consommation d'essence d'une voiture en fonction de la distance parcourue à 90 km/h. On cherche la quatrième proportionnelle.

Le produit en croix donne : $100 c = 60 × 4,5 = 270$

Donc $c = \dfrac{270}{100} = 2,7$

Une voiture qui consomme 4,5 L d'essence sur 100 km en consomme 2,7 sur 60 km.

II. Propriété de la représentation graphique de grandeurs proportionnelles

Si deux grandeurs A et B sont proportionnelles, les points dont l'abscisse est une valeur de A et l'ordonnée la valeur de B correspondante, appartiennent à une droite qui passe par l'origine du repère.

Exemple : la représentation graphique de la consommation d'essence en fonction de la distance parcourue est une droite passant par l'origine.

Inversement, deux grandeurs dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine sont proportionnelles, sinon elles ne le sont pas.

Exemples :

La représentation graphique de B en fonction de A est une droite mais elle ne passe pas par l'origine : A et B ne sont pas proportionnelles.

La représentation graphique de D en fonction de C passe par l'origine, mais ce n'est pas une droite : C et D ne sont pas proportionnelles.

III. Pourcentages

Un pourcentage désigne une proportion rapportée à une quantité de 100.
Soit p est un nombre.
p % d'une quantité, c'est cette quantité multipliée par $\dfrac{p}{100}$

Le pourcentage est utile pour se faire une idée de la proportion, car on connaît bien la répartition des nombres de 0 à 100.

$a.$ Calculer le pourcentage à partir de la quantité

On applique les méthodes de calcul de proportionnalité pour obtenir 100.

Exemple : Dans une ville de 1200 habitants, il y a 606 femmes.
Le pourcentage de femmes est $\dfrac{606}{1200} \times 100 = 50,5$. Il y a 50,5 % de femmes.

$b.$ Calculer une quantité à partir d'un pourcentage

Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité. Il faut le multiplier par la quantité totale, sans oublier de diviser par 100.

Exemple :
Un fromage contient 25 % de matières grasses, René en mange 40 grammes.

René a mangé $40 \times \dfrac{25}{100} = 10$ grammes de matières grasses.

IV. Échelles

Un plan ou une carte est à l'échelle si les longueurs représentées sont proportionnelles aux longueurs réelles.

L'échelle est le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les longueurs réelles pour obtenir la longueur sur le plan.

$\text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$ ( longueurs exprimées dans la même unité )

On exprime souvent l'échelle sous la forme d'une fraction.

Exemples : sur une carte à l'échelle $\frac{1}{50 000}$, 1 cm représente 50 000 cm, soit 500 m.

Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{200}$ une longueur de 6 m sera représentée par une longueur de $6 \times \dfrac{1}{200} m = 3~ cm$.

V. Pourcentages dans une réunion de deux groupes

Voyons un exemple concret : dans un collège fréquenté par 240 filles et 210 garçons, 20 % des filles et 10 % des garçons aimeraient devenir médecins. Quel pourcentage d'élèves souhaite devenir médecin ?

Les pourcentages de la réunion des filles et garçons ne s'additionnent pas, la réponse n'est pas 30 %. Ce n'est pas non plus la moyenne des deux, la réponse n'est pas 15 %.

Pour résoudre le problème, il faut calculer les effectifs dans chaque groupe.

Groupe des filles : $240 \times \dfrac{20}{100} = 48$ filles veulent devenir médecins.

Groupe des garçons : $210 \times \dfrac{10}{100} = 21$ garçons veulent devenir médecins.

Dans le collège, $48 + 21 = 69$ élèves veulent devenir médecins.
Il y a en tout $240 + 210 = 450$ élèves.

Le pourcentage sur l'ensemble des élèves est donc :

$\dfrac{69}{450} \times 100 = 15,33$ ( à 0,01 % près ).

15,33 % des élèves du collège souhaitent devenir médecins.