Annales - Sujet complet : E3C sujet zéro corrigé (2020)

INTÉRÊT DU SUJET - Ce sujet complet transversal vous permet de travailler plusieurs thèmes du programme : fonction exponentielle, probabilités et suites numériques.

Exercice 1

Miscellanées : QCM de 5 questions

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte, ni ne retire de point.

▶ 1. Pour tout réel $x$, $(e^{x})^{3}$ est égal à :

a) $e^{x}{\times}e^{3}$

b) $e^{x+3}$

c) $e^{3x}$

d) $e^{x3}$

▶ 2. Pour tout réel $x$, cos$(x+{\pi})$ est égal à :

a) sin$~x$

b) $-~$cos$~x$

c) cos$~x$

d) $-~$sin$~x$

▶ 3. On souhaite modéliser le niveau de la mer par une suite $(U_{n})$ de façon que $U_{o}$ représente le niveau de la mer, en mm, en $2003$ et que $U_{n}$ représente le niveau de la mer, en mm, $n$ années après $2003$.

Selon le site www.notre-planete.info/terre/climatologie_meteo, on constate une hausse assez rapide du niveau de la mer, qu’on estime à $3,3~$mm par an depuis $2003$.

Pour traduire ce constat, la suite $(U_{n})$ doit être :

a) une suite géométrique de raison $3,3$

b) une suite géométrique de raison $1,033$

c) une suite arithmétique de raison $1,033$

d) une suite arithmétique de raison $3,3$

▶ 4. Les figures ci-dessous représentent quatre polynômes du second degré dans un repère orthonormé et le signe de leur discriminant $\Delta$.

Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

a) 

$\Delta>0$

 

b) 

$\Delta=0$

c) 

$\Delta>0$

d) 

$\Delta<0$

 

 

 

▶ 4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

$\mathscr{D}$ est une droite dont une équation cartésienne est :

$2x-y+3=0$.

Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

a) La droite $\mathscr{D}$ passe par le point $A$ de coordonnées $(2~;1)$.

b) La droite $\mathscr{D}$ est dirigée par le vecteur de coordonnées $(-1~;2)$.

c) Le vecteur de coordonnées $(2~;-1)$ est normal à la droite $\mathscr{D}$.

d) Le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}$ avec l’axe des abscisses a comme coordonnées $(0~;3)$.

Exercice 2

Une découpe dans une plaque de bois

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.

Dans un repère orthonormé d’unité $30~$cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe $\mathscr{C}_{f}$ représentative de la fonction définie sur l’intervalle $[-1~;2]$ par :

$f(x)=(-x+2)~e^{x}$.

 

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $\mathscr{C}_{f}$.

On nomme $L$ la longueur de la plaque rectangulaire et $\mathscr{l}$ sa largeur.

▶ 1. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.

a) Montrer que pour tout réel x de l’intervalle $[-1~;2]$ :

$f^{\prime}(x)=(-x+1)e^{x}$.

b) En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1~;2]$.

▶ 2. La longueur $L$ de la plaque rectangulaire est de $90~$cm. Trouver sa largeur $\mathscr{l}$ exacte en cm.

Exercice 3

Deux types de contrats d’assurance

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :

- Un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de $500~$€ ;

- Un contrat « de base » dont le montant annuel est de $400~$€.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :

$60~$% des clients possèdent un véhicule récent (moins de cinq ans) ; les autres clients ont un véhicule ancien :

- Parmi les clients possédant un véhicule récent, $70~$% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;

- Parmi les clients possédant un véhicule ancien, $50~$% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.

D’une manière générale, la probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$ et son événement contraire est noté $\overline{A}$.

On note les événements suivants :

$R$ : « le client possède un véhicule récent » ;

$T$ : « le client a souscrit au contrat « Tous risques » ».

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

▶ 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilités traduisant les données de l’exercice.

▶ 2. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques », c’est-à-dire calculer $P(R~{\cap}~T)$.

▶ 3. Montrer que $P(T)=0,62$.

▶ 4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$. Déterminer­ ces deux valeurs, les probabilités $P(X=a)$ et $P(X=b)$, puis l’espérance de $X$.

Exercice 4

Intensité lumineuse à travers une plaque

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd $20~$% de son intensité lumineuse. L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd).

On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à $400~$cd.

On superpose $n$ plaques de verres identiques ($n$ étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse $I_{n}$ du rayon à la sortie de la $n$-ième plaque.

On note $I_{0}=400$ l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $(I_{n})$.

▶ 1. Montrer par un calcul que $I_{1}=320$.

▶ 2. 

a) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_{n}$.

b) En déduire la nature de la suite $(I_{n})$. Préciser sa raison et son premier terme.

c) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_{n}$ en fonction de $n$.

▶ 3. On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins $70~$% de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

a) Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.

Préciser, en justifiant, le nombre $j$ de sorte que l’appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.

b) Le tableau suivant donne des valeurs de $I_{n}$. Combien de plaques doit-on superposer ?

Les clés du sujet

▶ 2. Exploiter le calcul de l’image d’un nombre

$f^{\prime}(1)=0$, donc la largeur ${\text{l}}$ de la plaque est $f({\text{l}})$) unités de longueur.

$f(1)=e$ et une unité de longueur est égale à $30~$cm d’après l’énoncé, donc la largeur ${\text{l}}$ de la plaque en cm est $30$e.

Exercice 3 

▶ 1. Compléter un arbre de probabilités

Cela signifie que $40~$% des clients ont un véhicule ancien.

$60~$% des clients possèdent un véhicule récent, donc :

$P(R)=0,6$ et $p(\overline{R})=0,4$.

Parmi les clients possédant un véhicule récent, $70~$% ont souscrit au contrat « Tous risques », donc :

$P_{R}(T)=0,7$ et $P_{R}(\overline{T})=0,3$.

Parmi les clients possédant un véhicule ancien, $50~$% ont souscrit au contrat « Tous risques », donc :

$P_{\overline{R}}(T)=0,5$ et $P_{\overline{R}}(\overline{T})=0,5$.

D’où l’arbre :

▶ 2. Calculer une probabilité

La probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques » est $P(R~{\cap}~T)$.

$P(R~{\cap}~T)=P(R){\times}P_{R}(T)=0,6\times0,7$, donc :

$P(R~{\cap}~T)=0,42$.

▶ 3. Calculer une probabilité

$R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

$P(T)=P(R~{\cap}~T)+P({\overline{R}}~{\cap}~T)$.

Or $P({\overline{R}}~{\cap}~T)=P(\overline{R}){\times}P_{\overline{R}}(T)=0,4\times0,5=0,2$, d’où :

$P(T)=0,42+0,2$

$P(T)=0,62$.

▶ 4. Déterminer la loi et l’espérance d’une variable aléatoire

$X$ prend les valeurs $400$ et $500$, montants en euros des deux contrats proposés par la compagnie.

$500$ est le montant en euros du contrat « Tous risques », donc :

$P(X=500)=P(T)=0,62$ et $P(X=400)=P(\overline{T})=0,38$.

La loi de $X$ peut être résumée par le tableau ci-dessous.

L’espérance de $X$ est :

$E(X)=400\times0,38+500\times0,62$

$E(X)=462$

Exercice 4

 

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

$I_{1}=I_{0}-\dfrac{20}{100}{\times}~I_{0}$, donc :

$I_{1}=I_{0}(1-\dfrac{20}{100})=I_{0}\times0,8=400\times0,8$

$I_{1}=320$.

▶ 2. a) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel :

$I_{n+1}=I_{n}-\dfrac{20}{100}\times{I_{n}}$

$I_{n+1}=(1-\dfrac{20}{100})I_{n}$

$I_{n+1}=0,8~I_{n}$.

b) Étudier la nature d’une suite

Donc la suite $(I_{n})$ est une suite géométrique de raison $0,8$.

Son premier terme est $I_{o}=400$.

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

$(I_{n})$ est la suite géométrique de raison $0,8$, de premier terme $I_{o}=400$, donc, pour tout entier naturel $n$ :

$I_{n}=400\times0,8^{n}$.

▶ 3. a) Déterminer la valeur à donner à une variable

Le rayon lumineux a une intensité initiale de $400~$cd et on souhaite qu’il ait perdu au moins $70~$% de son intensité lumineuse ; celle-ci doit donc être inférieure ou égale à $30~$% de $400~$cd, c’est-à-dire $120~$cd.

On doit donc, dans la fonction Python, donner à $j$ la valeur $120$.

b) Déterminer le rang d’un terme inférieur à une valeur donnée

Dans le tableau donné, on lit que $I_{5}>120$ et $I_{6}<120$.

Donc après avoir traversé $5$ plaques, le rayon a perdu moins de $70~$% de son intensité et, après en avoir traversé $6$, il a perdu plus de $70~$% de son intensité.

On doit donc superposer $6$ plaques.