INTÉRÊT DU SUJET - Les films de science-fiction nous font rêver, mais s’inspirent d’éléments réels. Ainsi, les créateurs du film Avatar se sont inspirés du système solaire pour donner vie à la lune Pandora.

Pandora est une « exolune » de l’univers de fiction d’Avatar. Il s’agit de l’un des satellites – imaginaires – de la géante gazeuse Polyphème qui orbite autour d’Alpha Centauri, le système d’étoiles doubles le plus proche de notre système solaire, situé à 4,37 années-lumière, dont les deux étoiles A et B sont similaires à notre Soleil. Étudions la physique de Pandora.

Partie 1 • Les astres du monde d’Avatar

Document 1 - Atmosphère de Pandora

L’atmosphère de Pandora contient du diazote et du dioxygène, comme la Terre, mais plus de 18 % de dioxyde de carbone (contre 0,04 % sur Terre), du xénon (5,5 %), du méthane (plus de 1 %) et du sulfure d’hydrogène. Sa température moyenne est de 30 ^oC.

Document 2 - Le jour et la nuit sur Pandora

Pandora a un axe d’inclinaison de 29° par rapport au plan de l’écliptique. Elle tourne sur elle-même en un mois, d’autre part elle accomplit son orbite d’un rayon d’environ $2,5 \times 10^{5}$ km autour de Polyphème en 690 jours terrestres.

Polyphème gravite autour de l’étoile Alpha Centauri A (ACA), principale source de lumière de Pandora et de sa planète. Pandora reçoit aussi une lumière importante d’Alpha Centauri B (ACB). Ainsi, les nuits pandoriennes ne sont jamais sombres.

Source : james-camerons-avatar.fandom.com

À partir de vos connaissances et des informations apportées par les documents, répondre aux questions suivantes.

▶ 1.

a) Calculer la vitesse de révolution de Pandora autour de la planète Polyphème en m · s$^{-1}$.

b) Dire, en justifiant, s’il existe des saisons sur Pandora.

▶ 2. L’une des étoiles les plus brillantes du ciel nocturne terrestre, ACA, est aussi la plus brillante du système Alpha Centauri. L’énergie de cette étoile provient de la fusion nucléaire des noyaux d’hydrogène dans son cœur. Sa masse est $M_{\text{A}}=2,2 \times 10^{30}$ kg et la puissance rayonnée de cette étoile semblable au Soleil est de l’ordre de $10^{26}$ W.

a) Rappeler la relation entre la puissance et l’énergie et en déduire l’énergie rayonnée par ACA en 1,0 seconde. Donner la réponse avec deux chiffres significatifs.

b) Calculer la variation de masse de l’étoile en 1,0 seconde. On donne la vitesse de la lumière : $c=3,0 \times 10^{8}$ m · s$^{-1}$.

c) En considérant que $10^{9}$ tonnes d’hydrogène sont transformées en hélium toutes les secondes sur cette étoile, estimer sa durée de vie approximative en années terrestres si on suppose qu’elle s’éteindra lorsque 10 % de sa masse totale subira la réaction de fusion nucléaire qui est à l’origine de son rayonnement.

▶ 3. Quelles hypothèses peut-on avancer pour expliquer la température moyenne sur Pandora, sachant que celle de la Terre est de 15 ^oC ?

Partie 2 • Le monde d’Avatar et ses habitants

Document 3 - Les Na’vis dans leur monde

5bc1a4ad-5f7d-48a2-91e9-cd9c3ead5673

Collection/Aurimages

Avatar, film de James Cameron, 2009

Les Na’vis sont des êtres humanoïdes bipèdes originaires de Pandora. Ils sont très grands : en moyenne les mâles mesurent 3 m et les femelles 2,8 m.

Les Na’vis vivent en communauté sur les arbres-maisons : arbres massifs de 200 m de hauteur en moyenne et d’environ 60 m de diamètre. Ils redoutent le thanator, un prédateur qui se déplace très rapidement. Haut de 2,5 m et long de 5,5 m, il aurait pu battre un T-Rex !

Document 4 - Spectres d’action et d’absorption des pigments chlorophylliens

Sur Pandora, les plantes brillent, tirent des pointes de feuilles empoisonnées et communiquent. Rien de tout cela ne correspond exactement à notre définition de « plante », en revanche la forêt tropicale luxuriante de cette lune, qui abrite une riche biodiversité, semble très similaire aux forêts tropicales humides terrestres.

bcceeb16-e82d-46ef-b661-0995bf86a405

Spectre d’absorption des différents pigments des plantes vertes terrestres et spectre d’action de la photosynthèse

À partir de vos connaissances et des informations apportées par les documents, répondre aux questions suivantes.

▶ 4. Expliquer pourquoi on peut penser que les plantes de Pandora présentent des pigments semblables à ceux des plantes terrestres.

▶ 5. À partir de l’étude de l’ensemble des informations, démontrer que la photosynthèse semblable à celle présente sur Terre est possible sur Pandora.

▶ 6. Perché sur un arbre-maison un Na’vi (point N) aperçoit un thanator (point T) au pied d’un autre arbre, sous un angle de $\widehat{T}=35,0$°. Sachant qu’un enfant joue au pied de l’arbre-maison où il se trouve (point S), le Na’vi descend, prend ce dernier dans ses bras et court le mettre à l’abri (situation représentée sur le schéma ci-dessous : attention l’échelle n’est pas respectée). Il peut atteindre l’abri (point A) en 10 secondes à grandes enjambées. Le thanator se déplace lui à une vitesse de 100 km · h$^{-1}$, presque aussi vite qu’un jaguar, et il ne peut emprunter que le ponton TA. Le Na’vi réussira-t-il à lui échapper ?

bfe44816-9aa8-44ef-89e3-83d072c8e70e

Les clés du sujet

Comprendre les documents

586f5cc5-a7cd-4ddc-a766-2d6d7c5d2ad3

Répondre aux questions

Coups de pouce

▶ 1. a) Pour calculer cette vitesse dans l’unité demandée il faut convertir la distance comme la durée.

▶ 2. b) Il faut utiliser une relation très connue pour effectuer ce calcul.

▶ 3. La Terre sert de référence, il faut donc partir de la différence de température entre Pandora et la Terre, puis avancer des hypothèses pour l’expliquer.

▶ 6. Le schéma représentant des triangles fait appel à une méthode vue en cours pour mesurer une distance.

Aide à la résolution de la question 5

df631ffd-9595-4791-95f2-7c4bbb1f9489

Correction

Partie 1 • Les astres du monde d’Avatar

▶ 1.

a) On calcule d’abord la distance $D$ parcourue par Pandora autour de Polyphème. C’est le périmètre d’un cercle de rayon $R=2,5 \times 10^{5}$ km. Cela donne :

$D=2 \pi R=2 \times 3,14 \times 2,5 \times 10^{5}=1,6 \times 10^{6}$ km $=1,6 \times 10^{9}$ m

Pandora effectue cette distance pendant une durée $T$ telle que :

$T=690~\text{jours}=690 \times 24 \times 3~600= 6,0 \times 10^{7}$ s

La vitesse de révolution de Pandora, $V_\text{P}$, est donnée par :

Mot-clé
La révolution est le mouvement circulaire d’un astre autour d’un autre.

$V_{\text{P}}=\dfrac{D}{T}=26$ m · s$^{-1}$

b) Il existe bien des saisons sur Pandora, car l’axe de rotation de cette lune est incliné de 29° par rapport au plan de l’écliptique, d’après le document 2. Cette inclinaison est responsable des saisons.

▶ 2.

a) La relation entre l’énergie $E$ (en J) et la puissance rayonnée (en W) est :

$E=P \times \Delta{t}$

Donc l’énergie rayonnée par ACA en 1 seconde est :

$E=10^{26} \times 1,0=1,0 \times 10{26}$ J

b) D’après la relation d’Einstein entre la variation de masse et l’énergie, on a :

$E=\Delta{m} \times c^{2}$

D’où $\Delta{m}=\dfrac{E}{c^2}=1,1 \times 10^{9}$ kg

L’étoile ACA perd une masse de $1,1 \times 10^{6}$ tonnes par seconde.

Le conseil de méthode
Il faut d’abord calculer la masse totale transformée pendant la vie de l’étoile en utilisant l’énoncé. Utilisez ensuite la masse de combustible nucléaire transformée toutes les secondes pour trouver la durée de vie de l’étoile.

D’après l’énoncé, Alpha Centauri A (ACA) s’éteindra lorsque 10 % de sa masse totale sera consommée. La masse transformée dans l’étoile jusqu’à son extinction est donc :

$m=10$ %$~\times M_{\text{A}}=\dfrac{10}{100}\times 2,2 \times 10^{30}=2,2 \times 10^{29}$ kg$= 2,2 \times 10^{26}$ tonnes

Le temps de vie de l’étoile est donné par la relation :

$t=\dfrac{m}{\text{masse d’hydrogène transformée par seconde}}= \dfrac{2,2 \times 10 ^{26}}{10^9}= 2,2 \times 10^{17}$ s

Une année terrestre dure 365 jours et chaque jour dure 24 heures. Sachant qu’une heure contient 3 600 secondes on a :

$t=\dfrac{2,2 \times 10^{17}}{365 \times 24 \times 3~600}=7,0 \times 10^{9}$ ans

On peut donc estimer le temps de vie d’ACA à environ sept milliards d’années.

▶ 3.

Le conseil de méthode
Il faut d’abord retrouver les conditions qui déterminent la température à la surface d’un astre, puis comparer celles de Pandora et de la Terre, afin d’expliquer leur différence de température.

La température moyenne de Pandora est de 30 ^oC, soit le double de celle de la Terre. On cherche à expliquer cette différence en comparant les caractéristiques des deux astres.

On peut expliquer la température à la surface d’une planète – et le rayonnement thermique qu’il reçoit – en fonction de sa distance par rapport à son étoile (plus la planète est proche de son étoile et plus la quantité d’énergie thermique reçue est élevée), de son rayon (plus il est grand, plus la planète reçoit du rayonnement) et de l’énergie émise par l’étoile mais nous n’avons pas les données.

La température d’un astre dépend aussi de l’effet de serre et de la capacité à retenir les infrarouges par l’atmosphère grâce à certains gaz tels que le dioxyde de carbone, la vapeur d’eau ou le méthane. Ce phénomène augmente la température à la surface de l’astre.

Les densités des atmosphères de Pandora et de la Terre sont proches, mais l’atmosphère de Pandora contient 450 fois plus de dioxyde de carbone que celle de la Terre (18 % au lieu de 0,04 %).

Nous pouvons conclure, en l’absence d’autres données, que la présence très importante de $CO_{2}$ (gaz à effet de serre) peut expliquer une température moyenne sur Pandora deux fois plus élevée que sur la Terre.

Partie 2 • Le monde d’Avatar et ses habitants

▶ 4. La couleur des plantes dépend des pigments qu’elles contiennent. Il est noté dans le texte du document 4 que, malgré des caractéristiques originales, les forêts de Pandora ressemblent à celles de la Terre. De plus dans le document 3, on peut voir que les plantes pandoriennes sont vertes. Ayant la même couleur que les plantes terrestres, elles doivent contenir les mêmes pigments.

▶ 5. La photosynthèse est la production de matière organique par les végétaux chlorophylliens à partir de matière minérale (eau, sels minéraux et dioxyde de carbone) et d’énergie solaire reçue.

Vérifions si les plantes pandoriennes reçoivent l’énergie nécessaire à la photosynthèse. D’après l’introduction du sujet, il est noté que l’étoile ACA est similaire à notre Soleil et émet donc les mêmes radiations. Les plantes pandoriennes reçoivent alors les radiations nécessaires à la photosynthèse.

Vérifions si les plantes pandoriennes ont accès à la matière minérale nécessaire à la photosynthèse. D’après le document 1, l’atmosphère de Pandora est riche en dioxyde de carbone nécessaire à la photosynthèse et on aperçoit de l’eau liquide dans l’illustration du document 3.

Vérifions si les plantes pandoriennes peuvent effectuer la photosynthèse. D’après le spectre d’absorption du document 4, les plantes terrestres contiennent des pigments chlorophylliens responsables de l’absorption des radiations lumineuses solaires, principalement bleues (entre 60 % et 75 % d’absorption) et rouges (jusqu’à 70 %). Les radiations qui permettent la photosynthèse sont visibles sur le spectre d’action ; ce sont les mêmes pour lesquelles l’intensité de la photosynthèse est maximale. Comme les plantes pandoriennes semblent contenir les mêmes pigments que les plantes terrestres, elles peuvent absorber et utiliser les radiations bleues et rouges pour la photosynthèse.

D’après les informations étudiées, la photosynthèse sur Pandora est possible comme sur Terre et sans doute même de manière plus importante grâce à la présence de dioxyde de carbone plus élevée.

À noter
Il faut calculer TA par triangulation, ce qui nécessite d’abord le calcul de ST dans le triangle NST.

▶ 6.

Calcul de ST. Dans le triangle NST, rectangle en S, $\text{NS}=200$ m et l’angle

$\widehat{T}=35$°. On peut écrire :

$\text{tan}(35)=\dfrac{\text{NS}}{\text{ST}} \Leftrightarrow \text{ST}= \dfrac{\text{NS}}{\text{tan}(35)}=\dfrac{20}{\text{tan}(35)}=286$ m

Calcul de TA. D’après la relation de triangulation plane dans le triangle STA : $\dfrac{\text{TS}}{\text{sin}(40)}=\dfrac{\text{TA}}{\text{sin}(105)}$

d’où $\text{TA}=\text{TS} \times \dfrac{\text{sin}(105)}{\text{sin}(40)}=286 \times \dfrac{\text{sin}(105)}{\text{sin}(40)}=430$ m

L’animal doit donc parcourir cette distance à une vitesse de $V=100$ km · h$^{-1}$.

Calcul du temps qu’il faut au thanator pour parcourir TA. On sait que :

$V=\dfrac{\text{TA}}{\Delta{t}} \text{d’où}~\Delta{t}=\dfrac{\text{TA}}{V}$

Il faut convertir $V$ en m · s$^{-1}$ pour effectuer ce calcul : $V=\dfrac{100}{3,60}=27,8$ m · s$^{-1}$

D’où : $\Delta{t}=\dfrac{430}{27,8}=15,5$ s

Il faut 15,5 s au thanator pour atteindre l’abri, alors que le Na’vi atteint l’abri en 10 s. L’adulte et l’enfant ont donc réussi à échapper à l’animal.

Annales - Pandora, un astre singulier : E3C sujet d'entraînement inédit corrigé (2020)