DEUXIÈME PARTIE (14 points)
Exercice 1 (5 points)
Partie A : premier modèle
Nature de la suite
Dans ce modèle, la population augmente de marmottes tous les ans.
On a donc :
La suite est donc une suite arithmétique de raison :
et de premier terme :
Estimation du nombre de marmottes en juin 2025
Juin correspond à :
Donc on cherche .
Comme est arithmétique :
Donc :
En juin , selon ce modèle, on peut estimer la population à marmottes.
Ce premier modèle est-il adapté ?
En juin , le décompte réel donne marmottes.
Le premier modèle prévoyait seulement : marmottes.
L’écart est donc :
Le premier modèle sous-estime la population de marmottes. Il ne semble donc pas bien adapté à la situation.
Partie B : second modèle
Pourcentage d’augmentation entre juin 2019 et juin 2020
La population passe de à marmottes.
L’augmentation est :
Le pourcentage d’augmentation est donc :
La population a augmenté de entre juin et juin .
2.a. Nature de la suite
On a :
La suite est donc une suite géométrique de raison : et de premier terme :
2.b. Expression de en fonction de
Pour une suite géométrique :
Donc :
3.a. Estimation du nombre de marmottes en juin 2025
Juin correspond à :
D’après le tableau :
Selon ce second modèle, on peut estimer la population à marmottes en juin .
3.b. Ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?
Le décompte réel en juin donne marmottes.
Le second modèle prévoit : marmottes.
L’écart est donc :
Ce nouveau modèle semble donc pertinent, car il donne une estimation très proche de la population réelle.
3.c. Année où la population dépasse individus
D’après le tableau :
et :
La population dépasse donc marmottes pour la première fois lorsque :
L’année correspondante est :
Selon ce modèle, la population aura dépassé individus en juin .
Exercice 2 (5 points)
On choisit un adhérent au hasard parmi les adhérents.
Déterminer la probabilité de l’événement
L’événement signifie : « l’adhérent est une femme ».
Il y a femmes parmi adhérents.
Donc :
Déterminer la probabilité que l’adhérent soit un homme qui pratique le step
On cherche la probabilité de choisir un homme qui pratique le step.
D’après le tableau, il y a hommes qui pratiquent le step parmi adhérents.
Donc :
Déterminer la probabilité de l’événement
L’événement signifie : « l’adhérent est une femme et pratique le step ».
D’après le tableau, il y a femmes qui pratiquent le step parmi adhérents.
Donc :
Les événements et sont-ils indépendants ?
Deux événements et sont indépendants lorsque :
On sait que :
On calcule aussi :
Donc :
Or :
Comme :
Les événements et ne sont pas indépendants.
On choisit au hasard une femme parmi les adhérents. Quelle est la probabilité qu’elle pratique le crossfit ?
On sait que l’adhérent choisi est une femme. On cherche donc la probabilité qu’elle pratique le crossfit parmi les femmes.
Il y a femmes qui pratiquent le crossfit parmi femmes.
Donc :
Déterminer la probabilité
La notation signifie : probabilité que l’adhérent soit une femme sachant qu’il pratique le crossfit.
Il y a adhérents qui pratiquent le crossfit.
Parmi eux, sont des femmes.
Donc :
Exercice 3 (4 points)
1.a. Donner la valeur de par lecture graphique
On lit l’image de sur l’axe des abscisses.
Sur le graphique, lorsque , la courbe a pour ordonnée :
1.b. Donner la valeur de par lecture graphique
La valeur correspond au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse .
Sur le graphique, la tangente passe par les points :
et :
Donc son coefficient directeur est :
2.a. Calculer pour appartenant à
On admet que :
On dérive terme à terme :
Donc, pour tout :
2.b. Étudier le signe de sur
On étudie le signe de :
sur
sur
Donner les variations de sur
Comme sur , la fonction est croissante sur .
Comme sur , la fonction est décroissante sur .
On calcule quelques valeurs :
Donc la fonction est croissante de à sur , puis décroissante de à sur .
