Annales - DNB 2026 Mathématiques Amérique du Nord (le corrigé)

Partie 1 - Automatismes - 6 points - 20 minutes

Question 1 :

$\dfrac 23 + \dfrac 34 = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$

Question 2 :

On peut calculer $10\%$ de $45$ ce qui fait $4,5$ euros, que l'on retranche : et on obtient

$45 – 4,5 = 40,5$ euros

Question 3 :

Les diagonales qui se coupent en leur milieu et ont la même longueur . Donc c’est un rectangle (réponse B)

Question 4 :

$5x-20=15$

$5x = 35$ (j'ai ajouté $20$ aux deux membres)

d'où $x = \dfrac{35}{5} = 7$ (j'ai divisé par $7$ les deux membres).

Question 5 :

a) L’abscisse du point A est $– 4$

b) Les coordonnées du point B sont $(-2~;~-1)$.

Question 6 :

On commence par ranger les valeurs dans l’ordre croissant $1~;~3~;~3;~8~;~11~;~12~;~12~;~19~;~25$

Il y a $9$ valeurs, un nombre impair. La médiane de cette série est donc la valeur du milieu soit $11$ (4 valeurs avant et 4 valeurs après).

Question 7 :

On cherche la longueur du côté adjacent à l'angle.

$\cos {(60^\circ)}=\dfrac{AB}{BC}$ donc $AB=BC\times \cos (60^\circ)$

Mais $BC=5$ donc la formule utilisée est $AB=5\cos{(60^\circ)}$.

Question 8 :

Soit le nombre $387$.

$3+8+7=18$ qui est un nombre divisible par $3$, donc je peux affirmer que $387$ est divisible par $3$.

Remarque : $387=3\times 129$

Partie 2 - Raisonnement et résolution de problèmes - 14 points - 1 h 40

Exercice 1 (2,5 points)

On sait que la figure n'est pas à l'échelle.

1. Montrons que le triangle $AED$ est un triangle rectangle en $E$.

Le côté le plus long est $[AD]$.

$AD^2=7,3^2= 53,29$

$AE^2+ED^2=5,5^2+4,8^2=30,25+23,04=53,29$

On en déduit que $AD^2=AE^2+ED^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AED$ est rectangle en $E$, son hypoténuse est $[AD]$.

2. Calculons l'aire du triangle $AED$

$\mathcal{A}_{AED}=\dfrac 12 AE\times ED=\dfrac 12 \times 5,5\times 4,8=13,2$ cm².

3. Pourquoi peut-on affirmer que les droites $(BC)$ et $(ED)$ sont parallèles ?

On sait d'après la figure que $(CB)\perp (BE)$ , d'après la question $1.$ on sait que $(DE)\perp (BE)$.

Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre-elles.

Les droites $(CB)$ et $(DE)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(BE)$, on en déduite qu'elles sont parallèles entre-elles.

4. Calculons la valeur exacte de la longueur $AB$

Les points $C~,~A~,~D$ d'une part et $B~,~A~,~E$ d'autre part sont alignés.

Les droites $(CB)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Nous sommes dans une configuration de Thalès (papillon).

$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BC}{ED}$

$AB=AE\times \dfrac{BC}{ED}$

$AB=5,5\times \dfrac{7,2}{4,8}=8,25$ cm.

5. On admet que l’angle $\widehat{ACB}$ mesure environ 49°. En déduire la mesure de l’angle $\widehat {ADE}$.

Ces deux angles sont alternes-internes. Ils ont donc la même mesure.

Exercice 2 (3,5 points)

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x)=(x-1)(x+3)$et $g(x)=2x+1$.

1. Calculer $f(-4)$

$f(-4)=(-4-1)(-4+3)=(-5)(-1)=+5$

2. Déterminer l’antécédent de $2$ par la fonction $g$

On résout $g(x)=2$ et on cherche $x$.

$2x+1=2$ soit $2x=1$

On trouve $x=\dfrac 12$.

L'antécédent de $2$ par la fonction $g$ est le nombre $\dfrac 12$.

3. On utilise un tableur pour donner les images des nombres entiers de $0$ à $8$ par les fonctions $f$ et $g$.

a. Quelle formule doit-on saisir en cellule B3 puis étirer vers la droite pour compléter la ligne 3 ?

La formule est : =2*B1+1

(ne pas oublier que la formule commence toujours par le signe = )

b. Par lecture du tableau ci-dessus, donner une solution de l’équation $f(x)=g(x)$

D'après le tableau les 2 fonctions ont la même image lorsque $x=2$.

Donc une solution de cette équation est le nombre $2$.

4. On représente graphiquement chacune de ces fonctions.

a. Associer à chacune des fonctions $f$ et $g$ sa représentation graphique

La courbe $\mathscr C_2$ est une droite, elle est associée à la fonction $g$.

La courbe $\mathscr C_1$ est donc associée à la fonction $f$.

b. Par lecture graphique, déterminer les deux solutions de l’équation $f(x)=g(x)$.

On cherche pour une valeur de $x$ donnée, des images par $f$ et $g$ qui soient égales. cela se produit lorsque les deux courbes se coupent.

On obtient donc comme solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ les deux valeurs $x=-2$ et $x=+2$.

5. Lola affirme que les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les mêmes que les solutions de l’équation $x^2-4=0$. A-t-elle raison ?

$x^2-4$ est la différence de deux carrés, cette expression se factorise.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Cela revient à résoudre l'équation $(x-2)(x+2)=0$.

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit $x-2=0$ ou $x+2=0$.

Les deux solutions sont également $x=2$ et $x=-2$.

Lola a raison.

Exercice 3 (4 points)

Partie A

On entraîne l’IA à partir d’une base de données de $50~000$ images réparties en $4$ catégories.

1. Combien d’images appartiennent à la catégorie « Autres » ?

En tout, il y a $50~000$ images. Dans la catégorie « Autres », il y en a donc :

$50~000-(28~000+12~000+8~000)=2~000$.

2. Sur l’ensemble des tests, l’intelligence artificielle reconnaît correctement $90 \%$ des « Objets du quotidien ». Calculer le nombre d’images reconnues correctement dans cette catégorie.

Dans la catégorie « Objets du quotidien », on a $28~000$ objets.

Le nombre d’images reconnues correctement dans cette catégorie est donc :

$\dfrac{90}{100}\times 28~000=25~200$.

3. L’intelligence artificielle reconnaît correctement $5~600$ images de la catégorie « Véhicules ». Quel pourcentage de réussite cela représente-t-il dans cette catégorie ?

Dans la catégorie « Véhicules » on a au total $8~000$ véhicules. Si l'IA en reconnaît correctement $5~600$, le pourcentage de réussite est :

$\dfrac{5~600}{8~000}=0,7=0,70=70\%$.

4. Une image est tirée au hasard dans la base de données. Quelle est la probabilité que l’image tirée soit l’image d’un « Objet du quotidien » ?

Il y a $28~000$ objets dans la catégorie « Objet du quotidien ».

Il y a $50~000$ objets au total.

La probabilité que l'image tirée soit l'image d’un « Objet du quotidien » est donc égale à :

$\dfrac{28~000}{50~000}=0,56$ (sous forme décimale).

Partie B

5. Convertir la consommation de l’IA et d’un collège en Wh. Exprimer ces résultats sous la forme d’une écriture scientifique.

Pour l'IA : $82~000$ Gigawattheures (GWh)$=8,2\times 10^4$ (GWh) soit $8,2\times 10^4\times 10^9=\boxed{8,2\times 10^{13}\text{ Wh}}$ .

Pour le collège : $200~000$ kilowattheures (kWh)$=2\times 10^5$ (hWh) soit

$2\times 10^5\times 10^3=\boxed{2\times 10^8\text{ Wh}}$

6. Combien de collèges pourrait-on alimenter pendant un an avec la consommation électrique de l’intelligence artificielle ?

Le nombre de collèges alimentés serait :

$\dfrac{8,2\times 10^{13}}{2\times 10^8}=4,1\times 10^5$ soit $410~000$ collèges.

7. En France, il y a environ 7 100 collèges. Dans cette question, on suppose que chaque collège a la même consommation d’énergie annuelle moyenne (200 000 kWh). Pendant combien d'années environ pourrait-on alimenter tous les collèges français avec la consommation électrique annuelle de cette intelligence artificielle ?

Le nombre d'années serait : $\dfrac{410~000}{7~100}\approx 57,75$ soit environ $57$ années trois quarts.

Exercice 4 (2 points)

1. Quelles sont les coordonnées du lutin après l’exécution du Bloc 1 ?

Les coordonnées sont $0~;~0)$. Le lutin est à son point de départ.

2. Dans les blocs 2 et 3, on a remplacé certaines valeurs par les lettres A, B, C et D. Sur la copie, indiquer la lettre et sa valeur correspondante.

Pour le bloc 2, on veut un carré.

$A=4$ et $B=90$

Pour le bloc 3, on veut un triangle équilatéral.

$C=3$ et $D=60$ (Bien faire attention au sens de la rotation choisie).

3. L’élève a construit trois figures avec les trois programmes ci-dessous. Associer chaque figure au programme correspondant.

programme 1 --> B

programme 2 --> C

programme 3 --> A