INTÉRÊT DU SUJET - Pour Pythagore et ses adeptes, l’Univers s’expliquait par des nombres. Ils ont donc cherché à relier la musique aux nombres et à trouver un ordre pour les notes : les gammes. Pourtant celles-ci destinées à sonner agréablement à l’oreille n’étaient pas parfaites et tourbillonnaient dans un cycle de « quintes » infini !

Les instruments de musique produisent des sons auxquels l’oreille humaine associe certaines caractéristiques : hauteur, timbre et intensité. La répartition des notes dans une gamme a été retenue pour qu’elles sonnent de manière harmonieuse. La recherche de cette harmonie a conduit à différents types de gammes, celle de Pythagore et les tempérées.

Le sujet est composé de deux parties indépendantes.

Partie 1 • Des instruments et des notes

Les cordes d’un piano vibrent lorsqu’elles sont frappées par de petits marteaux actionnés par les touches du clavier. Les sons produits par le piano résultent de ces vibrations.

Document 1 - Notes associées aux touches d’un piano pour l’octave Do3-Do4 et fréquences associées en hertz (Hz)

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▶ 1. Calculer la fréquence du La4 située une octave au-dessus du La3.

▶ 2. On s’intéresse aux sons produits par ce piano. Un système d’acquisition informatisé permet l’enregistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons (document 2).

a) Justifier que les figures 1 et 2 du document 2 correspondent à deux notes différentes.

b) Identifier les notes correspondantes aux figures 1 et 2.

Document 2 - Signaux enregistrés correspondant à des notes de musique jouées par un piano

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Figure 1. Signal sonore en fonction du temps

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Figure 2. Signal sonore en fonction du temps

Partie 2 • Des notes et des gammes

La théorie musicale étant fondée sur des rapports de fréquences, on décide de simplifier les calculs en attribuant la valeur 1 (sans unité) à une fréquence choisie comme référence. Celle-ci correspond à une note de référence (par exemple $262$ Hz pour le Do3). On retrouve ensuite les fréquences réelles en multipliant les valeurs calculées par la fréquence de la note de référence.

La construction des gammes dites de Pythagore est basée sur le cycle des quintes : on part de la fréquence de valeur $f_0=1$. On construit une nouvelle fréquence, la quinte, en multipliant $f_0$ par $\dfrac{3}{2}$. On réitère ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. À certaines étapes, le fait de multiplier par $\dfrac{3}{2}$ une fréquence $f$ comprise entre 1 et 2 peut donner une fréquence supérieure ou égale à 2. On se propose de démontrer que, si on divise par 2 la valeur obtenue, on la ramène dans l’octave.

▶ 3. On suppose que $1 \leq f < 2$ et on raisonne par disjonction de cas :

Premier cas : $1 \leq f < \dfrac{4}{3} $$$ . Montrer que $1 \leq \dfrac{3}{2} \times f < 2 $$ $ ;

Deuxième cas : $\dfrac{4}{3} \leq f < 2$. Montrer que $2 \leq \dfrac{3}{2} \times f~\text{et}~1 $\leq \dfrac{1 \frac{}{}{2} \times \dfrac{3}{2} f < 2$.}$

▶ 4. L’algorithme ci-dessous permet de calculer les fréquences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu’à ce qu’on retombe sur la fréquence initiale.

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Recopier et compléter le tableau ci-après, en donnant les valeurs des 12 premières quintes obtenues par cet algorithme.

Les résultats seront donnés d’abord sous forme exacte comme quotients d’une puissance de 2 par une puissance de 3, puis par leurs valeurs décimales approchées au centième obtenues à l’aide de la calculatrice.

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▶ 5. L’algorithme termine-t-il pour une valeur de $n \leq 12$ ?

▶ 6. Chacune des fréquences calculées est obtenue à partir de 1 par des multiplications successives par \dfrac{3}{2} et éventuellement par \dfrac{1}{2}. Elles peuvent toutes s’écrire sous la forme $\dfrac{3^m}{2^n}$ où m et n sont des entiers non nuls.

a) Démontrer que l’égalité $\dfrac{3^{m}}{2^{n}}=1$ est impossible.

b) Que peut-on en déduire pour l’algorithme proposé ci-dessus ?

▶ 7. D’après ce qui précède, le cycle des quintes ne « reboucle » jamais exactement sur la note de départ. À l’aide du tableau de la question 4, justifier le choix de 12 notes dans une gamme construite selon ce principe.

▶ 8. Si on choisit comme fréquence de référence celle du Do3, les fréquences réelles des autres notes sont obtenues en multipliant par 262 les fréquences calculées dans le tableau de la question 4. En les rangeant dans l’ordre croissant et en arrondissant à l’unité, on obtient les fréquences des notes de la gamme de Pythagore à 12 notes.

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a) Comparer ces fréquences à celles inscrites sur les touches du piano.

b) Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du Do# et celle du Do puis entre la fréquence du Ré et celle du Do# dans cette gamme. Que constate-t-on ?

▶ 9.

a) Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du Do# et celle du Do puis entre la fréquence du Ré et celle du Do# dans la gamme figurant sur le piano. Que constate-t-on ?

b) Comment nomme-t-on la gamme représentée sur le piano ? En quoi diffère-t-elle de la gamme de Pythagore à 12 notes ?

Les clés du sujet

Comprendre les documents

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Répondre aux questions

Coups de pouce

▶ 1. Utilisez la définition de l’octave.

▶ 2. a) Utilisez les propriétés d’une note et les formules données en cours.

▶ 3. Il s’agit d’une démonstration mathématique. Partez de l’inéquation donnée au début de chaque cas et soyez rigoureux.

▶ 4. Réalisez le code pour mieux voir les résultats.

▶ 5. Établissez une correspondance entre la valeur de $f$ et la boucle de l’algorithme.

▶ 6. b) Il faut étendre le résultat trouvé à la question 6. a pour $n > 12$.

▶ 8. b) et 9. a) Soyez précis dans vos calculs.

Aide à la résolution de la question 9. b

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Correction

Partie 1 • Des instruments et des notes

▶ 1. Le La3 a pour fréquence $f_{\text{La3}}=441$ Hz. Le La4, à l’octave de La3, a par définition une fréquence telle que :

$f_{\text{La4}}=2 \times f_{\text{La3}}=2 \times 441=882$ Hz

▶ 2.

a) Deux notes sont différentes si les fréquences des sons qui leur correspondent sont différentes. On cherche les fréquences des signaux représentés sur les figures du document 2. Pour ce faire, il faut d’abord déterminer les périodes de ces signaux car on sait que $f=\dfrac{1}{T}$.

Figure 1 : $T_{1}=15 \times \dfrac{1,0}{4}=3,75$ ms d’où $f_{1}=\dfrac{1}{3,75 \times 10^{-3}}=2,6 \times 10^{2}=260$ Hz

Figure 2 : $T_{2}=15 \times \dfrac{1,0}{6}=2,5$ ms d’où $f_{2}=\dfrac{1}{2,5 \times 10^{-3}}=4,0 \times 10^{2} =400$ Hz

On constate que les fréquences ne sont pas identiques, il s’agit donc bien de deux notes différentes.

b) La note la plus proche correspondant à $f_1$ est le Do3 avec $262$ Hz et celle correspondant à $f_2$ est le Sol avec $393$ Hz.

Partie 2 • Des notes et des gammes

▶ 3. On suppose que $1 \leq f < 2$.

Premier cas. Si $1 \leq f < \dfrac{4}{3}$, en multipliant par $\dfrac{3}{2}$ on obtient :

$\dfrac{3}{2} ≤ \dfrac{3}{2} \times f < \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2} \leq \dfrac{3}{2} \times f < \dfrac{4}{2}$

$\dfrac{3}{2} \leq \dfrac{3}{2} \times f < 2$ et $\dfrac{3}{2} > 1$ d’où finalement $1 ≤ 3232 × f < 2$, CQFD.

Deuxième cas. Si $\dfrac{4}{3} \leq f < 2$, en multipliant par $\dfrac{3}{2}$ on obtient :

$\dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{2} \leq \dfrac{3}{2} \times f < 2 \times \dfrac{3}{2}$

$\dfrac{4}{2} \leq \dfrac{3}{2} \times f < 3$ d’où $2 \leq \dfrac{3}{2} \times f$, CQFD.

De même si $\dfrac{4}{3} \leq f < 2$, en multipliant par $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2}$ on obtient :

$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{3} \leq \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} \times f < \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} \times 2$

$1 \leq \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} \times f < \dfrac{3}{2}$

Et $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} \times f < 1,5$ d’où finalement $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} \times f < 2$, CQFD.

▶ 4. Le code permet de compléter le tableau d’après les instructions.

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▶ 5. On constate que, dans le tableau, $f \ne 1$ pour $n \leq 12$.

D’autre part, l’algorithme doit effectuer la boucle tant que $f \ne 1$. On en déduit que l’algorithme n’est pas terminé.

▶ 6.

Le conseil de méthode

Vous pouvez raisonner par l’absurde. Développez le numérateur de la fraction, puis le dénominateur et utilisez le fait qu’un nombre pair n’est pas égal à un nombre impair. N’oubliez pas de conclure.

Sachant que le produit de deux nombres pairs est pair et que le produit de deux nombres impairs est impair, on peut écrire que :

$3^{m}=3 \times 3 \times 3 \times \dots{} \times 3$ sera impair, et $2^{n}=2 \times 2 \times 2 \times \dots{} \times 2$ sera pair.

Or si $\dfrac{3^{m}}{2^{n}}=1$, on peut en déduire que $3^{m}=2^{n}$, c’est-à-dire qu’un nombre impair est égal à un nombre pair, ce qui est absurde.

L’égalité $\dfrac{3^{m}}{2^{n}}=1$ est donc impossible.

b) On peut déduire du résultat trouvé dans la question précédente que l’algorithme proposé ne permettra jamais de trouver une fréquence égale à $1$. En effet, les valeurs des fréquences se calculent en multipliant $1$ par $\dfrac{3^{m}}{2^{n}}$, or :

$\dfrac{3^{m}}{2^{n}} \ne 1 \Rightarrow f \ne 1$

▶ 7. Le cycle des quintes ne reboucle jamais sur la note de départ, donc $f \ne 1$. La gamme peut être considérée comme finie lorsque la fréquence $f$ est très proche de $1$. On constate, d’après les valeurs du tableau, que lorsque $n=12$ (12 notes), $f=1,01$, valeur très proche de $1$. On peut donc considérer que ces $12$ notes constituent une gamme.

Mot-clé
Lorsqu’on dit que le cycle des quintes ne reboucle pas sur la note de départ, cela veut dire que la note de la fin de la gamme dans le tableau a une fréquence $f$ telle que $f \ne 1$.

▶ 8.

a) En comparant les valeurs des fréquences du tableau à celles inscrites sur les touches du piano, on constate qu’elles sont proches sauf pour Do3 et Sol pour lesquels elles sont identiques.

b) Calcul des rapports demandés avec les valeurs du tableau :

À noter
Il faut effectuer ce calcul tel qu’il est demandé : au centième près.

$\dfrac{f_{_\text{Do}\#}}{f_{\text{Do}}}=\dfrac{280}{262}=1,07$

$\dfrac{f_{\text{Ré}}}{f_{\text{Do}\#}}=\dfrac{295}{280}=1,05$

On constate que ces rapports sont très proches et supérieurs à $1$.

▶ 9.

a) En prenant les valeurs inscrites sur les touches du piano on trouve les rapports suivants :

$\dfrac{f^{\prime}_{\text{Do}\#}}{f^{\prime}_{\text{Do}}}=\dfrac{278}{262}=1,06$

$\dfrac{f^{\prime}_{\text{Ré}}}{f^{\prime}_{\text{Do}\#}}=\dfrac{294}{278}=1,06$

On constate que ces rapports sont égaux.

b) On constate que les touches d’un piano permettent d’obtenir des sons (notes) dont les rapports des fréquences sont identiques. L’octave de la gamme du piano est donc divisée en $12$ intervalles égaux. On passe d’une note à la suivante en multipliant sa fréquence par $R=2^{\dfrac{1}{12}}=1,06$.

Ainsi au bout de $12$ itérations, la fréquence finale est le double de la fondamentale. Cette gamme aux intervalles réguliers est la gamme tempérée.

La gamme de Pythagore à $12$ notes, quant à elle, ne boucle pas sur une fréquence dont la valeur est le double de la fondamentale. Le rapport $R$ n’est pas le même pour toutes ses fréquences. C’est sa différence avec la gamme tempérée. La dernière quinte de la gamme de Pythagore s’appelle « la quinte du loup » donnant un son désagréable à l’oreille.

La gamme tempérée, malgré ses petits défauts de justesse, à l’inverse de celle de Pythagore, permet une grande facilité d’utilisation par plusieurs musiciens qui jouent ensemble.

Annales - Des instruments, des notes et des gammes : E3C sujet zéro corrigé (2020)