Annales - Corrigé épreuve anticipée mathématiques voie générale AVEC spé BAC Métropole 2026

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts)

Question 1

On applique l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 2$ :

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2$

$\phantom{(3x-2)^2}= 9x^2 - 12x + 4$

La bonne réponse est c.

Question 2

On lit graphiquement deux informations :

• La droite coupe l'axe des ordonnées en $y = 2$, donc l'ordonnée à l'origine est $2$.

• La droite est décroissante, donc le coefficient directeur est négatif.

On repère deux points sur la droite : lorsque $x$ augmente de $1$, $y$ diminue de $1$, donc le coefficient directeur est $\dfrac{-1}{1} = -1$.

L'équation de $(\Delta)$ est donc $y = -x + 2$.

La bonne réponse est c.

Question 3

Les élèves qui étudient le latin représentent $100$ de la classe, et ils sont $9$.

Soit $n$ le nombre total d'élèves. On a :

$0{,}25 \times n = 9 \implies n = \dfrac{9}{0{,}25} = 36$

La bonne réponse est d.

Question 4

Une augmentation de $15$ correspond à un coefficient multiplicateur de :

$1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$

La bonne réponse est b.

Question 5

On effectue une estimation par arrondi :

$\dfrac{150~000}{3~200} \approx \dfrac{150~000}{3~000} = 50$

La bonne réponse est b.

Question 6

On convertit la durée en secondes : $1$ minute et $40$ secondes $= 60 + 40 = 100$ secondes.

Le nombre d'images par seconde est :

$\dfrac{2~400}{100} = 24$

La bonne réponse est b.

Question 7

Un point appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si son ordonnée est égale à $f$ de son abscisse. On teste chaque point.

Point c : $f(3) = 0{,}5 \times (3-3)^2 + 10 = 0{,}5 \times 0 + 10 = 10$ ✓

La bonne réponse est c.

Question 8

On simplifie directement :

$A = \dfrac{10^{201} \times 10^{-4}}{(10^2)^{100}} = \dfrac{10^{197}}{10^{200}} = 10^{-3} = 0{,}001$

La bonne réponse est c.

DEUXIÈME PARTIE (14 points)

EXERCICE 1

1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés

2. Donner, par simple lecture de l’énoncé, la probabilité de l’événement $A$

Par simple lecture de l'énoncé : "20 % de l'ensemble des clients ont pris une assurance", donc :

$P(A) = 0{,}20$

3. Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu’il ait pris une assurance est égale à $0,15$.

On cherche $P(T \cap A)$. Par lecture de l'arbre :

$P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A) = 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15$

4. En déduire que la probabilité $P(\overline{T} \cap A)$ est égale à $0,05$

Les événements $T \cap A$ et $\overline{T} \cap A$ forment une partition de $A$, donc par la formule des probabilités totales :

$P(A) = P(T \cap A) + P(\overline{T} \cap A)$

$0{,}20 = 0{,}15 + P(\overline{T} \cap A)$

$P(\overline{T} \cap A) = 0{,}05$

5. Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu’il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

On cherche $P_{\overline{T}}(A)$, la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique.

$P_{\overline{T}}(A) = \dfrac{P(\overline{T} \cap A)}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}05}{0{,}4} = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}$

EXERCICE 2

1.

On considère un réel $u$. On considère sur $\mathbb{R}$ l'équation :

$(E) \quad x^2 + x - u^2 = 0$

Affirmation : Quelle que soit la valeur du réel $u$, l'équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.

Affirmation vraie.

Le discriminant de $(E)$ vaut :

$\Delta = 1 - 4 \times 1 \times (-u^2) = 1 + 4u^2$

Or $u^2 \geq 0$ pour tout réel $u$, donc $\Delta = 1 + 4u^2 \geq 1 > 0$.

Le discriminant est strictement positif quelle que soit la valeur de $u$, donc l'équation $(E)$ possède toujours deux solutions réelles distinctes.

2.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2^{-n}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

Affirmation vraie.

Les termes ne sont pas nuls, on peut faire le rapport de deux termes consécutifs.

On calcule le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ :

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}} = 2^{-(n+1)-(-n)} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$

Le rapport de deux termes consécutifs est constant et égal à $\dfrac{1}{2}$, donc $(u_n)$ est bien une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

3.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^x - 1$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative, $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$, et $A$ le point de coordonnées $(3~;~3)$.

Affirmation : le point $A$ appartient à la tangente $T$.

Affirmation vraie.

On détermine l'équation de $T$. On a $f'(x) = \mathrm{e}^x$, donc $f'(0) = 1$ et $f(0) = \mathrm{e}^0 - 1 = 0$.

Une équation de la tangente en $x = 0$ est :

$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \times x = x$

On vérifie si $A(3~;~3)$ appartient à $T$ : pour $x = 3$, on obtient $y = 3$. Les coordonnées de $A$ vérifient bien l'équation de $T$, donc $A$ appartient à la tangente $T$.

EXERCICE 3

1. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$ ainsi que sa norme.

$\overrightarrow{KP} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

$||\overrightarrow{KP}|| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$

2. Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ ainsi que sa norme.

$\overrightarrow{KM} = \left(\begin{array}{c} x-1 \\ 3 \end{array}\right)$

$||\overrightarrow{KM}|- = \sqrt{(x-1)^2 + 9}$

3. Montrer que le produit scalaire $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM}$ est égal à $3x - 3$.

En base orthonormée, le produit scalaire se calcule par la formule avec les coordonnées :

$\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = 3 \times (x-1) + 0 \times 3 = 3x - 3$

4. Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac{\pi}{3}$, alors le réel $x$ est solution de l'équation $(E) \quad \sqrt{(x-1)^2 + 9} = 2x - 2$.

On utilise la formule du produit scalaire avec l'angle :

$\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = ||\overrightarrow{KP}|| \times ||\overrightarrow{KM}|| \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Or $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, donc :

$3x - 3 = 3 \times \sqrt{(x-1)^2 + 9} \times \dfrac{1}{2}$

$3x - 3 = \dfrac{3}{2}\sqrt{(x-1)^2 + 9}$

En divisant par $\dfrac{3}{2}$ :

$2x - 2 = \sqrt{(x-1)^2 + 9}$

Donc $x$ est bien solution de l'équation $(E)$.

5. Vérifier que le réel $1 + \sqrt{3}$ est solution de l'équation $(E)$.

On substitue $x = 1 + \sqrt{3}$ dans chaque membre de $(E)$.

Membre gauche :

$\sqrt{(x-1)^2 + 9} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12}$

$\phantom{\sqrt{(x-1)^2 + 9}}= 2\sqrt{3}$

Membre de droite :

$2x - 2 = 2(1 + \sqrt{3}) - 2 = 2 + 2\sqrt{3} - 2 = 2\sqrt{3}$

Les deux membres sont égaux, donc $1 + \sqrt{3}$ est bien solution de l'équation $(E)$.